3.6.6._Estadísticos de posición o tendencia central
Para medir la información de las tablas
y poderlas comparar con otras se establecen unas medidas que solo pueden
definirse para variables cuantitativas.
Son medidas de centralización:
·
Media aritmética: Sumando
todos los valores y dividiendo por el número de datos.
Si los valores de x aparecen
repetidos tomamos los valores con sus frecuencias relativas.
Sigamos con el ejemplo:
En caso de tener una muestra agrupada en intervalos de clase media se puede calcular, a partir
de las marcas de clase ci, y el número ni de datos de
cada intervalo, utilizando una expresión similar.
Sin embargo, hay que indicar que es solamente aproximada. En
el caso de que sea posible, es más exacto no realizar agrupamiento de
intervalos.
Una propiedad
importante de la media aritmética es que
la suma de las desviaciones de un conjunto de datos respecto a su media es cero. La media equilibra las
desviaciones positivas y negativas respecto a su valor.
·
Medias geométrica, armónica y cuadrática:
-
La geométrica
es la raíz enésima del producto de los valores de la variable (siendo N el
tamaño de la muestra). Pero tiene el inconveniente de que si uno de sus valores
es cero, la media también es cero y no representa el valor central.
-
La armónica
es la inversa de la aritmética. En caso de que uno de los valores sea cero,
tampoco tiene sentido y es muy poco sensible a los valores muy altos
-
La cuadrática
es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores.
Tiene alguna utilidad para fenómenos físicos.
-
La relación entre las medias serías XA
< XG < X < XQ
·
La mediana Me:
se define como la medida central tal que, con los datos ordenados de menor a
mayor, el 50% de los datos son inferiores a su valor y el 50% de los datos son
superiores a su valor. Divide en dos partes iguales a la distribución de
frecuencias y gráficamente divide al histograma en dos áreas iguales.
Hay varios casos a analizar para
su cálculo:
1) Suponiendo
que los diferentes valores de las variables no aparecen, en general, repetidos:
la mediana será el valor central si N es impar, o será la media aritmética de
los dos valores centrales si N es par.
2) Si
tenemos una variable discreta con valores repetidos, se calcula en primer
lugar, el número de observaciones N dividido entre 2:
a.
si N/2 coincide con la frecuencia absoluta
acumulada, la mediana se sitúa entre este valor y el siguiente (media
aritmética del valor y su superior).
b.
Si N/2 no coincide con ninguno, la mediana sería
el primer valor de Xj con frecuencia absoluta acumulada mayor que N/2.
3) Si
tenemos una muestra de una variable continua con valores agrupados a
intervalos:
a.
Si N/2 coincide con la frecuencia absoluta
acumulada, la mediana será el extremo superior.
b.
Si ninguna frecuencia acumulada coincide, habrá
que interpolar el polígono de frecuencias acumuladas. Estará en algún lugar del
intervalo superior.
4) La
mayor ventaja de la media es que usa todos los valores y la mediana no lo hace.
Pero la mediana es menos sensible a las desviaciones. Por lo que es útil
utilizarlas como medidas complementarias que unidas dan mayor información.
·
La moda Mo:
es aquel valor de la variable que tiene frecuencia máxima, es decir, el valor
que más se repite. Pero puede ser que la moda no sea única, y entonces será
bimodal, trimodal, etc.
En variables discretas que
no tomen valores repetidos no tiene sentido. Si tienen valores repetidos su
cálculo es directo ya que puede verse directamente en la tabla de distribución
de frecuencias.
·
Cuartiles:
son los tres valores que dividen a la muestra ordenada en 4 partes iguales. El
primer cuartil divide al 25% por abajo y 75% por arriba, el segundo cuartil
coincide con la mediana y el tercer cuartil marcará el valor de las ¾ partes.
·
Deciles:
cuando dividen a la muestra en 10 partes iguales.
·
Percentiles: cuando
la dividen en 100 partes iguales.
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